משפטי מעגל

זווית היקפית = חצי מרכזית — שלושה ייצוגים של אותו רעיון الزاوية المحيطية = نصف المركزية — ثلاثة تمثيلات لنفس الفكرة

ויזואלי — "אני רואה את זה"

נוסחה — "אני מבין את היחס"

זווית היקפית

inscribed = ½ × central

זווית מרכזית = קשת

central = arc

תאלס (חצי מעגל)

arc = 180° ⇒ inscribed = 90°

משיק ⊥ רדיוס

tangent ⊥ radius = 90°

קוד מפורק — "אני עוקב אחרי השלבים"

# Step 1: central angle = arc
central = arc_degrees

# Step 2: inscribed = half
inscribed = central / 2

# Step 3: arc length on circle
arc_len = (arc/360) * 2π * r

כל שורה = פעולה אחת בלבד

בשפה פשוטה (ללא קוד)

1. הזווית המרכזית שווה לקשת: 120° קשת = 120° מרכזית

2. חלקו ב-2 לזווית היקפית: 120 / 2 = 60°

3. אורך הקשת: (120/360) × 2π × r

שימו לב: הצבעים עקביים — מרכזית בכחול, היקפית בסגול, קשת בכתום, רדיוס בירוק. המיפוי הזה הוא מנגנון הלמידה — לא כל ייצוג בנפרד, אלא החיבורים ביניהם. لاحظوا: الألوان متسقة — مركزية بالأزرق، محيطية بالبنفسجي، قوس بالبرتقالي، نصف قطر بالأخضر. هذا التعيين هو آلية التعلم — ليس كل تمثيل بمفرده، بل الروابط بينها.

מיפוי בין ייצוגים التعيين بين التمثيلات

כל שורה היא אותו דבר בשלוש צורות שונות: كل صف هو نفس الشيء بثلاثة أشكال مختلفة:

מתמטיקהرياضيات	קוד Pythonكود Python	ויזואלי (SVG)بصري (SVG)
r (רדיוס)r (نصف القطر)	`self.radius`	קו מקווקו ירוק O→Aخط متقطع أخضر O→A
זווית מרכזיתالزاوية المركزية	`central_angle`	קשת כחולה במרכז Oقوس أزرق عند المركز O
זווית היקפיתالزاوية المحيطية	`inscribed_angle`	קווים סגולים PA ו-PBخطوط بنفسجية PA و PB
קשתالقوس	`arc_degrees`	קשת כתומה עבה על המעגלقوس برتقالي سميك على الدائرة
מיתרالوتر	`chord`	קטע טורקיז A–Bقطعة فيروزية A–B
משיקالمماس	`tangent`	קו ורוד משיק למעגלخط وردي مماس للدائرة

מחשבון אינטראקטיבי حاسبة تفاعلية

שנו את הערכים וראו את כל שלושת הייצוגים מתעדכנים יחד: غيّروا القيم وشاهدوا التمثيلات الثلاثة تتحدث معًا:

בחרו משפט

רדיוס r

קשת (מעלות) arc

ויזואלי

חישוב שלב אחרי שלב

8 משפטי מעגל 8 نظريات الدائرة

1 זווית מרכזית = קשת الزاوية المركزية = القوس

הזווית במרכז המעגל שווה בדיוק לקשת שהיא חוסמת. الزاوية في مركز الدائرة تساوي تمامًا القوس الذي تحصره.

# central angle = arc central = arc_degrees # always equal

2 זווית היקפית = חצי הזווית המרכזית الزاوية المحيطية = نصف الزاوية المركزية

זווית שקודקודה על המעגל וזרועותיה חוסמות קשת — שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. زاوية رأسها على الدائرة وضلعاها يحصران قوسًا — تساوي نصف الزاوية المركزية المقابلة لنفس القوس.

# inscribed = arc / 2 inscribed = arc / 2

3 משפט תאלס: חצי מעגל = 90° نظرية طاليس: نصف الدائرة = 90°

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא תמיד 90° (קשת = 180°, חצי = 90°). الزاوية المحيطية المرتكزة على قطر هي دائمًا 90° (القوس = 180°، نصفه = 90°).

# Thales: arc = 180 => inscribed = 90 angle = 180 / 2 # always 90°

4 משיק ⊥ רדיוס = 90° المماس ⊥ نصف القطر = 90°

משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. المماس للدائرة عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس.

# tangent perpendicular to radius tangent_radius_angle = 90 # always

5 משיק-מיתר = קשת / 2 المماس-الوتر = القوس / 2

הזווית בין משיק למיתר שווה לחצי הקשת הנחסמת. الزاوية بين المماس والوتر تساوي نصف القوس المحصور.

# tangent-chord angle angle = intercepted_arc / 2

6 מיתרים חותכים: (קשת1 + קשת2) / 2 أوتار متقاطعة: (قوس1 + قوس2) / 2

כאשר שני מיתרים נחתכים בתוך המעגל, הזווית = ממוצע שתי הקשתות. عندما يتقاطع وتران داخل الدائرة، الزاوية = متوسط القوسين.

# intersecting chords angle = (arc1 + arc2) / 2

7 זווית חיצונית = |רחוקה - קרובה| / 2 الزاوية الخارجية = |البعيد - القريب| / 2

שני חותכים שנפגשים מחוץ למעגל: הזווית = הפרש הקשתות חלקי 2. قاطعان يلتقيان خارج الدائرة: الزاوية = فرق القوسين مقسومًا على 2.

# external (secant-secant) angle = abs(far - near) / 2

8 חזקת נקודה: PA×PB = PC×PD قوة النقطة: PA×PB = PC×PD

מכפלות קטעי שני מיתרים חותכים שוות. נכון גם לחותכים חיצוניים. حاصل ضرب مقطعي الوترين المتقاطعين متساويان. ينطبق أيضًا على القواطع الخارجية.

# power of a point power = PA * PB PD = power / PC

תובנה מרכזית: כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו. זה נובע ישירות ממשפט 2: אם כולן חצי מאותה קשת — כולן שוות. כך ניתן להוכיח שוויון זוויות בלי למדוד. فكرة أساسية: جميع الزوايا المحيطية المرتكزة على نفس القوس متساوية. هذا ينبع مباشرة من النظرية 2: إذا كانت جميعها نصف نفس القوس — فجميعها متساوية. يمكن إثبات تساوي الزوايا بدون قياس.

קוד Python מלא كود Python الكامل

הקוד המלא נמצא בקובץ circle_theorems_calculator.py — כולל 8 משפטים, ויזואליזציה, ותפריט אינטראקטיבי. الكود الكامل موجود في ملف circle_theorems_calculator.py — يتضمن 8 نظريات، تصورًا، وقائمة تفاعلية.

class CircleTheoremsCalculator:
    """Calculate and visualize circle angle theorems."""

    def __init__(self, radius=5, center=(0, 0)):
        self.radius = radius
        self.center = center

    # Theorem 1: Central angle = arc
    def central_angle(self, arc_degrees):
        arc_length = (arc_degrees / 360) * 2 * math.pi * self.radius
        return {'central_angle': arc_degrees, 'arc_length': arc_length}

    # Theorem 2: Inscribed = arc / 2
    def inscribed_angle_from_arc(self, arc_degrees):
        inscribed = arc_degrees / 2
        return {'inscribed_angle': inscribed, 'arc': arc_degrees}

    # Theorem 3: Semicircle = 90°
    def angle_in_semicircle(self):
        return {'inscribed_angle': 90.0, 'arc': 180.0}

    # Theorem 4: Tangent ⊥ radius = 90°
    def tangent_radius_angle(self):
        return {'angle': 90.0}

    # Theorem 5: Tangent-chord = arc / 2
    def tangent_chord_angle(self, intercepted_arc):
        return {'angle': intercepted_arc / 2}

    # Theorem 6: Intersecting chords
    def intersecting_chords_angle(self, arc1, arc2):
        return {'angle': (arc1 + arc2) / 2}

    # Theorem 7: External angle
    def external_angle(self, far_arc, near_arc):
        return {'angle': abs(far_arc - near_arc) / 2}

    # Theorem 8: Power of a point
    def power_of_point_chords(self, PA, PB, PC):
        PD = (PA * PB) / PC
        return {'PD': PD, 'power': PA * PB}

# Run: python circle_theorems_calculator.py

זכרו: הקוד הוא תרגום של המשפטים, לא מקור ההבנה. מישהו היה צריך לדעת שזווית היקפית = חצי קשת כדי לכתוב את arc / 2. הערך של הקוד: פירוק הנוסחה לשלבים ניתנים לעקיבה, אימות עם ערכים אמיתיים, ואיתור שגיאות. تذكروا: الكود هو ترجمة للنظريات، وليس مصدر الفهم. شخص ما كان يجب أن يعرف أن الزاوية المحيطية = نصف القوس لكتابة arc / 2. قيمة الكود: تفكيك الصيغة إلى خطوات قابلة للتتبع، التحقق بقيم حقيقية، وتحديد الأخطاء.

משפטי מעגלنظريات الدائرة