אינטגרלים — ∫f(x)dxالتكاملات — ∫f(x)dx

נוסחה, קוד, ויזואליזציה: שלוש דרכים להבין את אותו מושג صيغة، كود، تصور: ثلاث طرق لفهم نفس المفهوم

האינטגרל — שלושה ייצוגים של אותו רעיון التكامل — ثلاثة تمثيلات لنفس الفكرة

ויזואלי — "אני רואה את זה"

נוסחה — "אני מבין את היחס"

כלל חזקה לאינטגרל

∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

משפט היסוד של החשבון

∫_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)

שטח

Area = ∫|f(x)|dx

קוד מפורק — "אני עוקב אחרי השלבים"

# ∫[0,3] x² dx
import sympy
x = sympy.Symbol('x')

f = x**2
F = sympy.integrate(f, x)
# F = x**3/3

val = F.subs(x,3) - F.subs(x,0)
# val = 9

כל שורה = פעולה אחת בלבד

שימו לב: הצבעים עקביים — f(x) בכחול, F(x) בירוק, שטח בסגול, גבולות בכתום, ערך באדום. لاحظوا: الألوان متسقة — f(x) بالأزرق، F(x) بالأخضر، المساحة بالبنفسجي، الحدود بالبرتقالي، القيمة بالأحمر.

מיפוי בין ייצוגים التعيين بين التمثيلات

מתמטיקהرياضيات	קוד Pythonكود Python	ויזואליبصري
f(x)	`self.expr`	עקומה ראשיתالمنحنى الرئيسي
F(x) קדומהF(x) الأصلية	`integrate(expr,x)`	עקומה מקווקוותمنحنى متقطع
שטח צבועالمساحة المظللة	`F(b)-F(a)`	מילוי ירוק/אדוםتعبئة أخضر/أحمر
גבולות a, bالحدود a, b	`(x, a, b)`	קווים מקווקויםخطوط متقطعة
ערך האינטגרלقيمة التكامل	`float(result)`	מספר בתיבהرقم في المربع

מחשבון אינטראקטיבי حاسبة تفاعلية

הזינו פולינום ושנו את הגבולות. השטח החיובי בירוק, השלילי באדום: أدخلوا كثيرة حدود وغيّروا الحدود. المساحة الموجبة بالأخضر، السالبة بالأحمر:

פונקציה (פולינום)

ax³ + bx² + cx + d

a · x³

b · x²

c · x

גבולות אינטגרציה

a =

b =

גרף עם שטח צבוע

חישוב שלב אחרי שלב

סוגי אינטגרלים أنواع التكاملات

∫₀³ x dx

= 4.5

שטח חיובי בלבד

∫_-2² (x²-1) dx

= 1.33

חילופי סימן

∫₀¹ 1 dx

= 1

מלבן פשוט

דוגמאות נפוצותأمثلة شائعة

f(x)	F(x)	גבולותالحدود	ערךالقيمة

קוד Python מלאكود Python الكامل

הקוד נמצא בקובץ integral_calculator.py الكود موجود في ملف integral_calculator.py

def indefinite_integral(self):
    """F(x) = ∫f(x)dx + C"""
    antideriv = sympy.integrate(self.expr, x)
    return sympy.simplify(antideriv)

def definite_integral(self, a, b):
    """∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)"""
    F = sympy.integrate(self.expr, x)
    val = F.subs(x, b) - F.subs(x, a)
    return float(val)

def area_under_curve(self, a, b):
    """Absolute area, split at roots"""
    zeros = sympy.solve(self.expr, x)
    # split into subintervals...

זכרו: האינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לנגזרת. אם f'(x) מודדת שינוי, ∫f(x)dx צוברת — השטח מתחת לעקומה. تذكروا: التكامل هو العملية العكسية للمشتقة. إذا كانت f'(x) تقيس التغير، فإن ∫f(x)dx تجمع — المساحة تحت المنحنى.