נגזרות — f'(x)المشتقات — f'(x)

נוסחה, קוד, ויזואליזציה: שלוש דרכים להבין את אותו מושג صيغة، كود، تصور: ثلاث طرق لفهم نفس المفهوم

הנגזרת — שלושה ייצוגים של אותו רעיון المشتقة — ثلاثة تمثيلات لنفس الفكرة

ויזואלי — "אני רואה את זה"

נוסחה — "אני מבין את היחס"

כלל החזקה

d/dx [xⁿ] = n·x^n-1

משיק בנקודה

y = f'(x₀)·(x - x₀) + f(x₀)

נקודות קיצון

f'(x) = 0 → נקודות קיצון

קוד מפורק — "אני עוקב אחרי השלבים"

# f(x) = x³ - 3x
import sympy
x = sympy.Symbol('x')

f = x**3 - 3*x
fp = sympy.diff(f, x)
# fp = 3*x**2 - 3

crits = sympy.solve(fp, x)
# crits = [-1, 1]

כל שורה = פעולה אחת בלבד

שימו לב: הצבעים עקביים — f(x) בכחול, f'(x) באדום, משיק בירוק, נקודות קיצון בכתום, שיפוע בסגול. لاحظوا: الألوان متسقة — f(x) بالأزرق، f'(x) بالأحمر، المماس بالأخضر، نقاط القصوى بالبرتقالي، الميل بالبنفسجي.

מיפוי בין ייצוגים التعيين بين التمثيلات

מתמטיקהرياضيات	קוד Pythonكود Python	ויזואליبصري
f(x)	`self.expr`	עקומה ראשיתالمنحنى الرئيسي
f'(x)	`diff(expr, x)`	עקומה מקווקוותمنحنى متقطع
ישר משיקخط المماس	`f'(x0)*(x-x0)+f(x0)`	ישר נוגעخط ملامس
נק' קיצוןنقاط القصوى	`solve(fp, x)`	סמני מינ/מקסعلامات أدنى/أقصى
שיפוע mالميل m	`fp.subs(x, x0)`	תלילות המשיקانحدار المماس
ישר ניצבالخط العمودي	`-1/m * (x-x0)+y0`	אנךعمودي

מחשבון אינטראקטיבי حاسبة تفاعلية

הזינו פונקציה פולינומית, שנו את נקודת המשיק וראו את שלושת הייצוגים מתעדכנים: أدخلوا دالة كثيرة الحدود، غيّروا نقطة المماس وشاهدوا التمثيلات الثلاثة:

פונקציה (פולינום)

Coefficients: a·x³ + b·x² + c·x + d

a · x³

b · x²

c · x

נקודת משיק x₀

x₀ = 1

גרף f(x), f'(x) ומשיק

חישוב שלב אחרי שלב

כללי גזירה قواعد الاشتقاق

f(x) = x³ - 3x

f'(x) = 3x² - 3

כלל חזקה

f(x) = x² - 2x + 1

f'(x) = 2x - 2

פרבולה

f(x) = -x³ + 4x

f'(x) = -3x² + 4

פולינום יורד

דוגמאות נפוצותأمثلة شائعة

f(x)	f'(x)	נקודות קיצוןنقاط القصوى	כללالقاعدة

קוד Python מלאكود Python الكامل

הקוד נמצא בקובץ derivative_calculator.py الكود موجود في ملف derivative_calculator.py

def compute_derivative(self, n=1):
    """Compute the nth derivative."""
    current = self.expr
    for i in range(1, n + 1):
        deriv = sympy.diff(current, x)
        deriv = sympy.simplify(deriv)
        current = deriv
    return current

def tangent_line(self, x0):
    """y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)"""
    fp = sympy.diff(self.expr, x)
    y0 = self.expr.subs(x, x0)
    m  = fp.subs(x, x0)
    # tangent: y = m*(x - x0) + y0

def critical_points(self):
    """Where f'(x) = 0"""
    fp = sympy.diff(self.expr, x)
    crits = sympy.solve(fp, x)

זכרו: הנגזרת מודדת את קצב השינוי — כמה מהר f(x) עולה או יורדת. כש-f'(x)=0, הפונקציה לא עולה ולא יורדת — נקודת קיצון! تذكروا: المشتقة تقيس معدل التغير — مدى سرعة ارتفاع أو انخفاض f(x). عندما f'(x)=0، الدالة لا ترتفع ولا تنخفض — نقطة قصوى!